Математика
Автор: Виленкин Н.Я.
Год: 1977
Страницы: 355
Язык: Русский
Издательство: Просвещение
Для возможности заказывать книгу Вам необходимо зарегистрироваться
Описание:
Книга предназначена будущим учителям начальных классов. Она полностью соответствует как новой программе для педагогических институтов, так и содержанию действующих учебников математики для I—III классов.
Предисловие. 5
Глава 1. Высказывания и операции над ними. 7
§ 1. Свойства и высказывания. 7
1. Объекты, классы объектов и их свойства. 7
2. Логические рассуждения. 9
3. Истинные и ложные высказывания. 12
§ 2. Операции над высказываниями. 14
1. Отрицание высказываний. 12
2. Конъюнкция высказываний. 16
3. Дизъюнкция высказываний. 18
4. Импликация высказываний. 20
5. Эквиваленция высказываний. Тавтологии. 23
Глава II. Множества, кортежи, комбинаторика. 25
§ 1. Операции над множествами. 25
1. Множества. 25
2. Способы задания множеств. Равные множества. 27
3. Подмножества. Диаграммы Эйлера—Венна. 28
4.Пересечение множеств. 31
5. Объединение множеств. 33
6. Дополнение к подмножеству. Разность множеств. 35
7. Диаграммы Эйлера—Венна и формы логических рассуждений. 37
§ 2. Элементы комбинаторики. 37
1 .Декартово произведение двух множеств. 38
2. Кортежи. 40
3. Комбинаторика. Правило суммы. 42
4. Правило произведения. 43
5. Размещения с повторениями. 45
6. Упорядоченные множества. 46
7. Сочетания без повторений. 48
8. Свойства чисел С. 49
Глава III. Предикаты и теоремы. 51
§ 1. Предикаты и операции над ними. 51
1. Одноместные предикаты. 51
2. Кванторы. 53
3. Операции над предикатами. 54
4. Импликация и эквиваленция предикатов. 57
5. Многоместные предикаты. 59
§ 2. Теоремы. 61
1. Строение теоремы. 61
2. Теорема, обратная данной. 63
3. Теорема, противоположная данной. 65
Глава IV. Соответствия, отношения, отображения. 67
§ 1. Соответствия и операции над ними. 67
1. Бинарные соответствия. 67
2. Некоторые типы соответствий. Операции над соответствиями. 70
3. Отношения на множестве. 72
4. Граф бинарного отношения. 76
§ 2. Отношения эквивалентности. 78
1. Разбиение множества на попарно непересекающиеся подмножества. 78
2. Основные свойства отношений. 79
3. Отношения эквивалентности. 81
§ 3. Отношения порядка. 84
1. Отношения строгого порядка. 84
2. Отношения нестрогого порядка. 86
3. Упорядоченные множества. 87
§ 4. Отображения. 89
1. Отображения. 89
2. Полный прообраз. Обратное отображение. 91
3. Эквивалентные множества. 94
Глава V. Координаты, уравнения и неравенства. 96
§ 1. Координаты на прямой. 96
1. Координаты на прямой. 96
2. Преобразование координат на прямой линии. 98
3. Некоторые задачи аналитической геометрии на прямой линии. 99
§ 2. Координаты на плоскости. 101
1. Декартова прямоугольная система координат на плоскости. 101
2. Преобразования координат на плоскости. 103
3. Некоторые задачи аналитической геометрии на плоскости. 104
§ 3. Числовые и буквенные выражения. 106
1. Числовые выражения. 106
2. Числовые неравенства. 108
3. Равенство и неравенство числовых выражений. 110
4. Выражения с переменными. 111
§ 4. Уравнения и неравенства. 113
1. Уравнения с одной переменной. 113
2. Теоремы о равносильности уравнений. 117
3. Неравенства с одной переменной. 118
4. Уравнения с двумя переменными. 122
5. Уравнение окружности. 124
6. Графики неравенств. 125
7. Системы уравнений и неравенств. 126
§ 5. Линейные уравнения. 129
1. Уравнение прямой линии с угловым коэффициентом. 129
2. Условия параллельности и перпендикулярности прямых. 131
3. Уравнение пучка прямых, проходящих через заданную точку; уравнение прямой, проходящей через две точки. 133
4. Угол между двумя прямыми. 135
5. Общее уравнение прямой. 136
6. Точка пересечения прямых. 138
Глава VI. Функция, предел, производная, интеграл. 140
§ 1. Числовые функции. 140
1. Функции и выражения. 140
2. Прямая пропорциональность, линейная зависимость и их графики. 144
3. Обратная пропорциональность и ее график. 145
4. Композиция функций (сложная функция). 146
5. Обратная функция. 147
§ 2. Построение графиков функций. 148
1. Построение графика «по точкам». 148
2. Построение графика путем параллельного переноса системы координат. 149
3. График квадратичной функции. 151
4. График дробно-линейной функции. 152
§ 3. Последовательности. 154
1. Числовые последовательности. 154
2. Рекуррентные последовательности. 156
3. Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности. 158
4. Предел последовательности. 161
§ 4. Предел функции. 162
1. Возрастание и убывание функций. 164
2. Ограниченные и неограниченные функции. 164
3. Бесконечно малые функции. 165
4. Предел функции в точке. 167
5. Предел функции на бесконечности. 169
6. Непрерывные функции. 172
7. Свойства функций, непрерывных на отрезке. 174
§ 5. Дифференциал, производная, интеграл. 175
1. Приращение функции. 175
2. Дифференциал функции. 176
3. Производная. 177
4. Механический смысл производной. 179
5. Формулы дифференцирования. 180
6. Неопределенный интеграл. 182
7. Определенный интеграл. 184
Глава VII. Геометрические преобразования. 186
§ 1. Группа преобразований. 186
1. Преобразования множеств. 186
2. Геометрические преобразования. 190
§ 2. Группа перемещений плоскости и ее подгруппы. 193
1. Группа перемещений плоскости. 193
2. Осевая симметрия. 195
3. Параллельный перенос. 199
4. Операции над параллельными переносами. 204
5. Повороты плоскости. 206
6. Центральная и поворотная симметрии. 210
7. Группа самосовмещений фигуры. Бордюры и орнаменты. 212
§ 3. Геометрические преобразования подобия и сжатия. 217
1 Гомотетия. 217
2. Гомотетия и преобразования подобия. 218
3. Преобразование сжатия к прямой. 220
Глава VIII. Алгебраические операции и алгебры. 222
§ l. Алгебраические операции и алгебры. 222
1. Общее понятие алгебраической операции. 222
2. Алгебры. 226
§ 2. Свойства алгебраических операций. 228
1. Ассоциативные алгебраические операции. 228
2. Коммутативность. 230
3. Дистрибутивность. 232
4. Сократимость. 234
5. Обратные операции. 235
6. Нейтральный и поглощающий элементы. 238
7. Симметричные элементы. 239
§ 3. Некоторые роды алгебр. 242
1. Группы и полугруппы. 242
2. Кольца и поля. 243
Глава IX. Натуральные числа. 247
§ 1. Системы аксиом и их свойства. 247
1. Аксиоматический метод в математике. 247
2. Модели системы аксиом. 248
3. Непротиворечивость, независимость и категоричность системы аксиом. 251
§ 2. Аксиоматика множества натуральных чисел. 252
1. Возникновение понятия натурального числа. 252
2. Количественная теория натуральных чисел. 254
3. Аксиомы сложения. 256
4. Отношение порядка в множестве натуральных чисел и его свойства. 258
5. Неограниченность и дискретность множества натуральных чисел. 260
6. Принцип математической индукции. 261
7. Аксиоматика Пеано. 262
§ 3. Арифметика натуральных чисел. 264
1. Умножение натуральных чисел. 264
2. Вычитание натуральных чисел. 266
3. Деление натуральных чисел. Деление с остатком. 267
4. Порядковые и количественные натуральные числа. 268
5. Нуль. 270
§ 4. Системы счисления. 271
1. Непозиционные системы счисления. 271
2. Позиционные системы счисления. 274
3. Запись натуральных чисел в десятичной системе счисления. 275
4. Запись чисел в других позиционных системах счисления. 277
5. Сложение чисел в десятичной и других позиционных системах счисления. 282
6. Вычитание в десятичной и других системах счисления. 284
7. Умножение чисел в десятичной и других позиционных системах счисления. 286
8. Деление в десятичной я других позиционных системах счисления. 288
Глава X. Делимость целых неотрицательных чисел. 290
§ 1. Отношение делимости и его свойства 290
1. Свойства отношения делимости. 290
2. Признаки делимости. 292
3. Признаки делимости в других системах счисления. 294
4. Кратные и делители. 295
5. Свойства наименьшего общего кратного и наибольшего общего делителя. 297
§ 2. Простые числа и их свойства. 299
1. Простые и составные числа. 299
2. Решето Эратосфена. 300
3. Основная теорема арифметики натуральных чисел. 302
4. Канонические разложения и действия над числами. 304
5. Алгоритм Евклида. 306
Глава XI. Рациональные и действительные числа. 308
§ 1. Множество положительных рациональных чисел. 308
1. Измерение отрезков. 308
2. Эквивалентные дроби. 310
3. Положительные рациональные числа. 312
4. Сложение положительных рациональных чисел. 313
5. Свойства сложения. Вычитание. 315
6. Умножение и деление положительных рациональных чисел. 317
7. Аксиоматическое построение теории положительных рациональных чисел. 318
§ 2. Десятичные дроби. 319
1. Десятичные дроби и действия над ними. 319
2. Преобразование обыкновенных дробей в десятичные. 321
3. Бесконечные периодические десятичные дроби. 323
§ 3. Положительные действительные числа. 325
1. Несоизмеримые отрезки. 325
2. Положительные действительные числа и бесконечные десятичные дроби. 326
3. Отношение порядка в множестве R +. 328
4. Сложение и умножение в множестве #+. 329
5. Аксиоматика множества положительных действительных чисел. 330
6. Измерение величин. 331
7. Измерение площадей. 332
8. Площадь криволинейной трапеции. 334
§ 4. Множество действительных чисел. 335
1. Положительные и отрицательные числа. 335
2. Сложение и вычитание действительных чисел. 337
3. Умножение и деление в множестве действительных чисел. 338
Предметный указатель. 341
Слисок обозначений. 346
